Archivo Mayo, 2009

¿Qué es la interferencia?

Escrito por Daniel en General, Memoria el Mayo 29th, 2009

Como vimos en la generación del perfil del diente, mediante una evolvente, se presenta la característica de que la normal común a una pareja de estos dientes en su punto de contacto (el punto que queda entre C y E, en el dibujo), es tangente a ambas circunferencias base. Y, además, el contacto entre los dientes siempre se produce sobre esta línea que denominamos “línea de engrane” (ver El Perfil del diente).

"Terms of involute gear engagement" de Wikipedia

"Terms of involute gear engagement" de Wikipedia

La línea azul, tangente a las circunferencias base en color verde (los podemos denotar como T1T2), es la línea de engrane y forma un ángulo con la recta que une los centros \phi, el ángulo de presión. Pues bien, si los engranajes entran en contacto antes del punto T1 o se separan después de T2, se producirá un fenómeno conocido como interferencia.

Para saber en qué punto empiezan a tocarse los dientes y dónde comienzan a alejarse, basta con realizar los siguientes pasos:

  1. Dibujamos las circunferencias primitivas de cada engranaje, uniendo la línea de los centros.
  2. Trazamos una perpendicular en el punto de contacto de las “supuestas” ruedas de fricción: esto es, el punto de contacto entre las primitivas (C)
  3. Ahora establecemos el ángulo de presión y trazamos una línea significativa que pase por el punto C.
  4. Trazamos dos perpendiculares a la línea anterior de manera que pasen por sendos centros. Esto nos da el radio de las circunferencias base, que procedemos a trazar.
  5. Ahora dibujamos las circunferencias exteriores de cada engranaje (radio primitivo + addendum) e identificamos los puntos donde nos corta a la línea de engrane, que serán A y B según la imagen anterior, que pasa a llamarse segmento de engrane.

Por lo tanto T1T2 > AB, quedando este segmento comprendido dentro del primero. De lo contrario, existirá interferencia.

Otra forma de interferencia, es la que se produce cuando la circunferencia base queda sobre la la propia base del diente: es decir, Diámetro base > Diámetro de pie. Esto tiene lugar cuando un engranaje tiene un número de dientes reducido.

Como sabemos, el diente involuto o de evolvente se define únicamente a partir de la circunferencia base. En los casos donde la profundidad del diente se extiende más allá de tal circunferencia, vamos a tener una zona del diente que no será involuto y no habrá un contacto de dientes conjugados. La punta del diente de la rueda interferirá con la zona “no involuta” del diente del piñón.

Fresa madre

Fresa madre

Pero claro, como el piñón ha sido conformado con una fresa madre, el filo de la herramienta también habrá interferido con esa zona y habrá eliminado el material que se haya encontrado a su paso, generando así lo que se conoce como un diente rebajado. A éste fenómeno se le conoce como socavación o simplemente rebaje.

Sin embargo, debemos evitar esto, pues produce una debilitación en la raíz del diente. Si lo asemejamos a una viga empotrada en voladizo, ahí se producirán los mayores momentos y podría crearnos unos problemas que no habíamos previsto en los cálculos.

Así que, como decía, se deben desechan los engranes con un número de dientes relativamente bajo.

Robert L. Norton, Figura 11-11

Robert L. Norton, Figura 11-11

Y aquí va una animación que representa el estudio de interferencia de uno de mis pares de engranajes: 50/16

Click para verlo ampliado.

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Referencias y Enlaces

Interference in involute gears [ppt]
Robert L. Norton, “Diseño de maquinas”.
G. Niemann, “Elementos de maquinas”.
Wikipedia: Engranaje ~ Gear.

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Jugando con Solidworks

Escrito por Daniel en Software el Mayo 29th, 2009

He estado probando algunas cosillas del Estudio de movimiento de este programa para el que será mi futuro reductor de velocidad. Montando los engranajes que ya tengo diseñados sobre los ejes, aun sin calcular… Pero es que gusta también un poco de acción entre tanto número.

Por lo tanto, esos ejes no son los definitivos, ni la disposición. Aun no he decidido si distribuir los ejes en una forma triangular, en línea (opción con menos papeletas…) o entrelazados entre sí.

Para realizar el movimiento de cámara, he utilizado una trayectoria dibujada con una spline en un boceto que posteriormente oculté. La verdad es que da buenos resultados y no es muy difícil de hacer, cuando ya se sabe dónde tocar claro.  Así como las relaciones de posición, que tiene unas cuantas. Estoy aprendiendo a hacer videotutoriales, así que espero que pronto pueda empezar a publicar algo.

Mientras tanto, os dejo los archivos de ensamblaje del tren de engranajes para poder retocar y mirar cosas.

Archivos para Solidworks 2008

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¿Problema con los materiales en SolidWorks?

Escrito por Daniel en Software el Mayo 14th, 2009

Quien haya instalado Solidworks en español, seguramente habrá tenido problemas con la librería de materiales al intentar asignar uno a una pieza cualquiera.

Esto implica que no podemos hacer uso de las propiedades de dichos materiales, empleando COSMOS, o simplemente obtener un renderizado semejante al aspecto real de la pieza.

El mensaje que devuelve es el siguiente:

Base de datos de materiales incompatible. Probablemente la versión de esta base de datos es superior y no es compatible con la versión actual.

La raíz de este error es que el archivo con la base de datos incluye la letra ñ y vocales con tilde, que el programa no puede reconocer. Yo he editado mi fichero solidworks materials.sldmat y he sustituido la letra “ñ” por “n” y las vocales con tilde por la misma vocal sin tilde.

Dejo aquí el archivo para descargar: Solidworks Materials Database [Click derecho > Guardar como...]

Hay que llevarlo al directorio en la ruta “C:/Archivos de programa/SolidWorks/lang/spanish/sldmaterials/” y sustituir el que ya existe.

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Cálculos cinemáticos: relación de transmisión (bis)

Escrito por Daniel en Cálculo el Mayo 14th, 2009

Vamos a continuar con el tema de los cálculos cinemáticos.

Como vimos, para una relación de transmisión i \,=\, 50, nos servían dos parejas de engranajes. La relación de transmisión promedio era \sqrt{50} \,=\, 7,07. Vamos a ver qué hacemos con esto…

La relación promedio es un valor orientativo de nuestras relaciones de transmisión intermedias i_1 y i_2. Lo que normalmente se viene haciendo es que se toma un número cercano a aquél y se multiplica por la relación total dividida por el mismo número. Por ejemplo, tomaremos 8:

\frac{8}{1} \times \frac{50}{8}

Lo cual, como es evidente, sigue siendo igual a 50, nuestra relación de transmisión…

Ahora imponemos un número mínimo de dientes. Lo ideal es un mínimo de 18, pero podríamos establecer el límite en 16. ¿Qué ocurre si ponemos menos? Pues que habría muchas probabilidades de que se produjera interferencia entre los perfiles de los dientes de engrane. Estoy preparando un post sobre este tema, lo prometo…

En el Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, se explican las siguientes ecuaciones para saber cuál es el mínimo número de dientes para un ángulo de presión y el mayor engrane para un piñón mínimo:

Z_{min} \,=\, \frac{2k}{3 \sin^2 (\phi)} \left( 1 + \sqrt{ 1 + 3\sin^2(\phi) } \right), donde \phi es el ángulo de presión en grados y k un factor del diente, que vale 1 para dientes de profundidad completa y 0,8 en caso de dientes cortos.

Z_{max} \,=\, \frac{Z_{min}^2 \sin^2 (\phi) - 4k^2}{4k - 2 Z_{min} \sin^2 (\phi)}

Nosotros vamos a elegir un Z_{min} \,=\, 16, que es algo normal. Si nos fijamos en las fracciones de antes, las podemos asemejar a \frac{Z_2}{Z_1} \times \frac{Z_4}{Z_3}. Y como los engranajes de entrada Z_1 y Z_3 son los más pequeños (los que menos dientes tienen), pues estamos reduciendo velocidad, vamos a establecerlos en 16 dientes. Las fracciones quedarían, pues, de la siguiente forma:

\frac{8 \cdot 16}{16} \times \frac{50 \cdot 16/8}{16} \,=\, \frac{128}{16} \times \frac{100}{16} \,=\, i \,=\, 50

Es decir, que vamos a tener Z_1 \,=\, Z_3 \,=\, 16 dientes, Z_2 \,=\, 128 dientes y Z_4 \,=\, 100 dientes.

Ahora, nos surge un problema: si elegimos un módulo 3, por decir algo orientativo, vamos a tener unos engranajes demasiado grandes. Sin ir más lejos, el engrane de salida del primer par (Z_2) tendría un diámetro de 384 mm. Como, tras los cálculos a flexión del diente necesitemos un módulo 4, tendríamos un engranaje de medio metro… con un piñón de 64 mm. Hasta el tutor me ha dicho que eso queda horrible ;) Por esta razón, vamos a ver qué pasaría si utilizamos tres pares de engranajes –si, ya sé lo que dije de los pecados mortales…

i \,=\, i_1 \times i_2 \times i_3 \rightarrow \sqrt[3]{50} \,=\, 3,684

Vamos a escoger 4 como relación intermedia:

\underbrace{\frac{Z_2}{Z_1}}_{i_1} \times \overbrace{\frac{Z_4}{Z_3}}^{i_2} \times \underbrace{\frac{Z_6}{Z_5}}_{i_3} \,=\, \frac{4}{1} \times \frac{4}{1} \times \frac{50}{4\cdot4} \rightarrow Z_{min}\,=\,16 \Rightarrow \frac{64}{16} \times \frac{64}{16} \times \frac{50}{16}

De forma sencilla, hemos conseguido un tren de engranajes, con dos pares intermedios y los tres piñones iguales, con la ventaja económica y constructiva que eso nos otorga. Esta es mejor solución que la primera.

Z_1 = 16

Z_2 = 64

Z_3 = 16

Z_4 = 64

Z_5 = 16

Z_6 = 50

La conclusión que saco de aquí, es que en el futuro, consideraré que la relación máxima entre un par de engranajes es 8.

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El perfil del diente

Escrito por Daniel en Cálculo el Mayo 1st, 2009

La involumetría es el estudio de la geometría de la involuta. ¿Qué es la involuta? ¿Es lo mismo que la evolvente? (mal expresada en ocasiones como “envolvente”). ¿Cuál es la diferencia? ¿Son errores de traducción o cada uno tiene un significado geométrico distinto?

Definamos los siguientes conceptos: evolvente, evoluta, involuta y envolvente.

  • Evoluta: En inglés evolute. Se define como el lugar geométrico de todos los centros de curvatura de una curva cualquiera. Para saber más: Evoluta en Wikipedia y en Wolfram [en]
  • Evolvente: Es la anterior “curva cualquiera”, es decir, aquella que da lugar a una evoluta. Parece ser que es lo que en inglés se entiende por involute.
  • Involuta: En inglés involute. Se supone que es aquella curva indeformable que genera una curva de evolvente. Vamos, que es lo mismo que la evolvente. Estos anglicismos…
    Sus ecuaciones paramétricas son estas:
    x \,=\, r_b \cdot \cos(\theta) + r_b \cdot \theta \cdot \sin(\theta)
    y\,=\, r_b \cdot \sin(\theta) - r_b \cdot \theta \cdot \cos(\theta)
  • Envolvente: Es la curva tangente a cada miembro de una familia de curvas o rectas, sin pertenecer esa curva a tal familia.

Después de todo el lío de curvas tangentes a otras y entre sí, vamos al grano. Lo que nos interesa es la evolvente o involuta para generar nuestro perfil de diente. Llámese como se quiera, yo elijo evolvente.

El perfil del diente de un egranaje de evolvente viene generado por la evolente de la circunferencia base, la cual dijimos que tenía un diámetro d_b \,=\, d \cdot \cos(\phi).

Aquí tenemos una animación del punto de contacto entre dos perfiles de engranajes involutos realizada por la web HowStuffWorks.

Voy a seguir el “Teoría de Máquinas y Mecanismos” de Shigley para describir cómo trazamos tal curva.

Generación de una evolvente o involuta a partir de un círculo base

Generación de una evolvente o involuta a partir de un círculo base

Si nos fijamos en la imagen, vamos a partir de un círculo base de radio r_b y de centro O. La línea del radio corta a la circunferencia en el punto A y se traza una tangente en ese punto, donde trazaremos nuestro segmento AT, de longitud \rho . La línea del radio, forma un ángulo \varphi con el segmento OT. Como el triángulo OTA es rectángulo, se cumple que \rho \,=\, r_b \cdot \tan(\varphi), que es también la longitud del archo AB. Además, como la longitud de un arco de circunferencia es el radio del arco multiplicado por el ángulo en radianes, tenemos que \rho \,=\, r_b \cdot \left( \alpha + \varphi \right).

Igualando, tenemos que r_b \cdot \tan(\varphi) \,=\, r_b \cdot \left(\alpha + \varphi \right) \rightarrow \alpha \,=\, \tan(\varphi) - \varphi , lo que pasará a ser la función “involuta de phi”: equivale al águlo que describe una curva trazada por un punto de una cuerda enrollada en el círculo base. Un ejemplo: si \varphi \,=\, 30^{\circ}\rightarrow \, inv \, \varphi \,= \, \tan(30) - 0.52 \,=\, 0.053751. La tabla 6 del apéndice del Shigley, consiste en una lista ángulos con su correspondiente álgulo de arco evolvente (inv \, \varphi) ya tabulados.

Cómo generar el perfil del diente con la evolvente.

Cómo generar el perfil del diente con la evolvente.

Enlaces de interés y referencias bibliográficas.

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