Cálculos cinemáticos: relación de transmisión (bis)

Vamos a continuar con el tema de los cálculos cinemáticos.

Como vimos, para una relación de transmisión $i \,=\, 50$ , nos servían dos parejas de engranajes. La relación de transmisión promedio era $\sqrt{50} \,=\, 7,07$ . Vamos a ver qué hacemos con esto…

La relación promedio es un valor orientativo de nuestras relaciones de transmisión intermedias $i_1$ y $i_2$ . Lo que normalmente se viene haciendo es que se toma un número cercano a aquél y se multiplica por la relación total dividida por el mismo número. Por ejemplo, tomaremos 8:

$\frac{8}{1} \times \frac{50}{8}$

Lo cual, como es evidente, sigue siendo igual a 50, nuestra relación de transmisión…

Ahora imponemos un número mínimo de dientes. Lo ideal es un mínimo de 18, pero podríamos establecer el límite en 16. ¿Qué ocurre si ponemos menos? Pues que habría muchas probabilidades de que se produjera interferencia entre los perfiles de los dientes de engrane. Estoy preparando un post sobre este tema, lo prometo…

En el Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, se explican las siguientes ecuaciones para saber cuál es el mínimo número de dientes para un ángulo de presión y el mayor engrane para un piñón mínimo:

$Z_{min} \,=\, \frac{2k}{3 \sin^2 (\phi)} \left( 1 + \sqrt{ 1 + 3\sin^2(\phi) } \right)$ , donde $\phi$ es el ángulo de presión en grados y $k$ un factor del diente, que vale 1 para dientes de profundidad completa y 0,8 en caso de dientes cortos.

$Z_{max} \,=\, \frac{Z_{min}^2 \sin^2 (\phi) - 4k^2}{4k - 2 Z_{min} \sin^2 (\phi)}$

Nosotros vamos a elegir un $Z_{min} \,=\, 16$ , que es algo normal. Si nos fijamos en las fracciones de antes, las podemos asemejar a $\frac{Z_2}{Z_1} \times \frac{Z_4}{Z_3}$ . Y como los engranajes de entrada $Z_1$ y $Z_3$ son los más pequeños (los que menos dientes tienen), pues estamos reduciendo velocidad, vamos a establecerlos en 16 dientes. Las fracciones quedarían, pues, de la siguiente forma:

$\frac{8 \cdot 16}{16} \times \frac{50 \cdot 16/8}{16} \,=\, \frac{128}{16} \times \frac{100}{16} \,=\, i \,=\, 50$

Es decir, que vamos a tener $Z_1 \,=\, Z_3 \,=\, 16$ dientes, $Z_2 \,=\, 128$ dientes y $Z_4 \,=\, 100$ dientes.

Ahora, nos surge un problema: si elegimos un módulo 3, por decir algo orientativo, vamos a tener unos engranajes demasiado grandes. Sin ir más lejos, el engrane de salida del primer par ( $Z_2$ ) tendría un diámetro de 384 mm. Como, tras los cálculos a flexión del diente necesitemos un módulo 4, tendríamos un engranaje de medio metro… con un piñón de 64 mm. Hasta el tutor me ha dicho que eso queda horrible Por esta razón, vamos a ver qué pasaría si utilizamos tres pares de engranajes –si, ya sé lo que dije de los pecados mortales…

$i \,=\, i_1 \times i_2 \times i_3 \rightarrow \sqrt[3]{50} \,=\, 3,684$

Vamos a escoger 4 como relación intermedia:

$\underbrace{\frac{Z_2}{Z_1}}_{i_1} \times \overbrace{\frac{Z_4}{Z_3}}^{i_2} \times \underbrace{\frac{Z_6}{Z_5}}_{i_3} \,=\, \frac{4}{1} \times \frac{4}{1} \times \frac{50}{4\cdot4} \rightarrow Z_{min}\,=\,16 \Rightarrow \frac{64}{16} \times \frac{64}{16} \times \frac{50}{16}$

De forma sencilla, hemos conseguido un tren de engranajes, con dos pares intermedios y los tres piñones iguales, con la ventaja económica y constructiva que eso nos otorga. Esta es mejor solución que la primera.

$Z_1 = 16$ $Z_2 = 64$ $Z_3 = 16$ $Z_4 = 64$ $Z_5 = 16$ $Z_6 = 50$

La conclusión que saco de aquí, es que en el futuro, consideraré que la relación máxima entre un par de engranajes es 8.

cinematica, diente, diseño, engranajes, transmision

Esta entrada fue escrita el 14 mayo 2009, 21:29 y archivada en Cálculo. Puedes seguir las respuestas en esta entrada a través de RSS 2.0. Puede dejar una respuesta, o hacer trackback desde su propio sitio.

Proyecto Final de Carrera