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Grado de recubrimiento

Por Daniel - Cálculo, Memoria - 8 diciembre 2009

El también conocido como coeficiente de recubrimiento o relación de contacto, nos indica el número promedio de dientes de una rueda dentada que están engranando a la vez con los dientes de la rueda con la que está conjugada.

El contacto entre dientes empieza y termina en las intersecciones de las dos circunferencias de cabeza con la línea de presión. En la siguiente ilustración queda representado este hecho.

Aquí se muestra la zona de acción de los dientes conjugados.

Aquí se muestra la zona de acción de los dientes conjugados.

Según la figura anterior, el contacto inicial se produce en a, y el contacto final ocurre en el punto b. Los perfiles de los dientes trazados por estos puntos cortan la circunferencia de paso en A y B, respectivamente.

Tal y como se indica, el arco AP recibe el nombre de arco de aproximación q_a , mientras que BP es el arco de retroceso, q_r . La suma de ambos se denomina arco de acción, q_t .

q_a + q_b = q_t

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Cálculos cinemáticos: relación de transmisión (bis)

Por Daniel - Cálculo - 14 mayo 2009

Vamos a continuar con el tema de los cálculos cinemáticos.

Como vimos, para una relación de transmisión i \,=\, 50, nos servían dos parejas de engranajes. La relación de transmisión promedio era \sqrt{50} \,=\, 7,07. Vamos a ver qué hacemos con esto…

La relación promedio es un valor orientativo de nuestras relaciones de transmisión intermedias i_1 y i_2. Lo que normalmente se viene haciendo es que se toma un número cercano a aquél y se multiplica por la relación total dividida por el mismo número. Por ejemplo, tomaremos 8:

\frac{8}{1} \times \frac{50}{8}

Lo cual, como es evidente, sigue siendo igual a 50, nuestra relación de transmisión…

Ahora imponemos un número mínimo de dientes. Lo ideal es un mínimo de 18, pero podríamos establecer el límite en 16. ¿Qué ocurre si ponemos menos? Pues que habría muchas probabilidades de que se produjera interferencia entre los perfiles de los dientes de engrane. Estoy preparando un post sobre este tema, lo prometo…

En el Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, se explican las siguientes ecuaciones para saber cuál es el mínimo número de dientes para un ángulo de presión y el mayor engrane para un piñón mínimo:

Z_{min} \,=\, \frac{2k}{3 \sin^2 (\phi)} \left( 1 + \sqrt{ 1 + 3\sin^2(\phi) } \right), donde \phi es el ángulo de presión en grados y k un factor del diente, que vale 1 para dientes de profundidad completa y 0,8 en caso de dientes cortos.

Z_{max} \,=\, \frac{Z_{min}^2 \sin^2 (\phi) - 4k^2}{4k - 2 Z_{min} \sin^2 (\phi)}

Nosotros vamos a elegir un Z_{min} \,=\, 16, que es algo normal. Si nos fijamos en las fracciones de antes, las podemos asemejar a \frac{Z_2}{Z_1} \times \frac{Z_4}{Z_3}. Y como los engranajes de entrada Z_1 y Z_3 son los más pequeños (los que menos dientes tienen), pues estamos reduciendo velocidad, vamos a establecerlos en 16 dientes. Las fracciones quedarían, pues, de la siguiente forma:

\frac{8 \cdot 16}{16} \times \frac{50 \cdot 16/8}{16} \,=\, \frac{128}{16} \times \frac{100}{16} \,=\, i \,=\, 50

Es decir, que vamos a tener Z_1 \,=\, Z_3 \,=\, 16 dientes, Z_2 \,=\, 128 dientes y Z_4 \,=\, 100 dientes.

Ahora, nos surge un problema: si elegimos un módulo 3, por decir algo orientativo, vamos a tener unos engranajes demasiado grandes. Sin ir más lejos, el engrane de salida del primer par (Z_2) tendría un diámetro de 384 mm. Como, tras los cálculos a flexión del diente necesitemos un módulo 4, tendríamos un engranaje de medio metro… con un piñón de 64 mm. Hasta el tutor me ha dicho que eso queda horrible ;) Por esta razón, vamos a ver qué pasaría si utilizamos tres pares de engranajes –si, ya sé lo que dije de los pecados mortales…

i \,=\, i_1 \times i_2 \times i_3 \rightarrow \sqrt[3]{50} \,=\, 3,684

Vamos a escoger 4 como relación intermedia:

\underbrace{\frac{Z_2}{Z_1}}_{i_1} \times \overbrace{\frac{Z_4}{Z_3}}^{i_2} \times \underbrace{\frac{Z_6}{Z_5}}_{i_3} \,=\, \frac{4}{1} \times \frac{4}{1} \times \frac{50}{4\cdot4} \rightarrow Z_{min}\,=\,16 \Rightarrow \frac{64}{16} \times \frac{64}{16} \times \frac{50}{16}

De forma sencilla, hemos conseguido un tren de engranajes, con dos pares intermedios y los tres piñones iguales, con la ventaja económica y constructiva que eso nos otorga. Esta es mejor solución que la primera.

Z_1 = 16 Z_2 = 64 Z_3 = 16 Z_4 = 64 Z_5 = 16 Z_6 = 50

La conclusión que saco de aquí, es que en el futuro, consideraré que la relación máxima entre un par de engranajes es 8.

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El perfil del diente

Por Daniel - Cálculo - 1 mayo 2009

La involumetría es el estudio de la geometría de la involuta. ¿Qué es la involuta? ¿Es lo mismo que la evolvente? (mal expresada en ocasiones como “envolvente”). ¿Cuál es la diferencia? ¿Son errores de traducción o cada uno tiene un significado geométrico distinto?

Definamos los siguientes conceptos: evolvente, evoluta, involuta y envolvente.

  • Evoluta: En inglés evolute. Se define como el lugar geométrico de todos los centros de curvatura de una curva cualquiera. Para saber más: Evoluta en Wikipedia y en Wolfram [en]
  • Evolvente: Es la anterior “curva cualquiera”, es decir, aquella que da lugar a una evoluta. Parece ser que es lo que en inglés se entiende por involute.
  • Involuta: En inglés involute. Se supone que es aquella curva indeformable que genera una curva de evolvente. Vamos, que es lo mismo que la evolvente. Estos anglicismos…
    Sus ecuaciones paramétricas son estas:
    x \,=\, r_b \cdot \cos(\theta) + r_b \cdot \theta \cdot \sin(\theta)
    y\,=\, r_b \cdot \sin(\theta) - r_b \cdot \theta \cdot \cos(\theta)
  • Envolvente: Es la curva tangente a cada miembro de una familia de curvas o rectas, sin pertenecer esa curva a tal familia.

Después de todo el lío de curvas tangentes a otras y entre sí, vamos al grano. Lo que nos interesa es la evolvente o involuta para generar nuestro perfil de diente. Llámese como se quiera, yo elijo evolvente.

El perfil del diente de un egranaje de evolvente viene generado por la evolente de la circunferencia base, la cual dijimos que tenía un diámetro d_b \,=\, d \cdot \cos(\phi).

Aquí tenemos una animación del punto de contacto entre dos perfiles de engranajes involutos realizada por la web HowStuffWorks.

Voy a seguir el “Teoría de Máquinas y Mecanismos” de Shigley para describir cómo trazamos tal curva.

Generación de una evolvente o involuta a partir de un círculo base

Generación de una evolvente o involuta a partir de un círculo base

Si nos fijamos en la imagen, vamos a partir de un círculo base de radio r_b y de centro O. La línea del radio corta a la circunferencia en el punto A y se traza una tangente en ese punto, donde trazaremos nuestro segmento AT, de longitud \rho . La línea del radio, forma un ángulo \varphi con el segmento OT. Como el triángulo OTA es rectángulo, se cumple que \rho \,=\, r_b \cdot \tan(\varphi), que es también la longitud del archo AB. Además, como la longitud de un arco de circunferencia es el radio del arco multiplicado por el ángulo en radianes, tenemos que \rho \,=\, r_b \cdot \left( \alpha + \varphi \right).

Igualando, tenemos que r_b \cdot \tan(\varphi) \,=\, r_b \cdot \left(\alpha + \varphi \right) \rightarrow \alpha \,=\, \tan(\varphi) - \varphi , lo que pasará a ser la función “involuta de phi”: equivale al águlo que describe una curva trazada por un punto de una cuerda enrollada en el círculo base. Un ejemplo: si \varphi \,=\, 30^{\circ}\rightarrow \, inv \, \varphi \,= \, \tan(30) - 0.52 \,=\, 0.053751. La tabla 6 del apéndice del Shigley, consiste en una lista ángulos con su correspondiente álgulo de arco evolvente (inv \, \varphi) ya tabulados.

Cómo generar el perfil del diente con la evolvente.

Cómo generar el perfil del diente con la evolvente.

Enlaces de interés y referencias bibliográficas.

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Definiendo el engranaje

Por Daniel - Cálculo - 15 abril 2009

En esta entrada vamos a ilustrar y enumerar las distintas partes de un engranaje, los ángulos que lo definen, cómo se calculan las dimensiones del diente, etc.

Circunferencias características de un par de engranajes

Circunferencias características de un par de engranajes

Circunferencia primitiva: Definido por el radio primitivo, es una circunferencia teórica en la que se basan la mayor parte de los cálculos. Las circunferencias primitivas de dos engranajes siempre son tangentes entre sí.

Circunferencia de cabeza: Es aquella cuyo radio es igual al radio primitivo más la altura de cabeza.

Circunferencia de pie o raíz: Es la circunferencia cuyo radio es igual al de la circunferencia primitiva menos la profundidad del diente.

Circunferencia base: Es una cirunferencia que tampoco existe físicamente en el engranaje y es tangente al segmento de engrane. Además, es la circunferencia que se emplea para generar la involuta que define el perfil del diente. El valor de su radio es: r_b \, = \, r_{primitivo} \cdot \cos \phi

Paso circular (p_c): Es la distancia medida sobre la circunferencia primitiva (en pulgadas) que va desde un punto de un diente, hasta el punto homólogo en un diente adyacente. Define el tamaño del diente. p_c \,=\, \frac{\pi d}{Z}.

Paso diametral (p_d): Es una manera más práctica, para los que usan el sistema de la AGMA, de definir el tamaño del diente relacionándolo con el diametro de la circunferencia de paso o primitiva. p_d \,=\ \frac{Z}{d} \,=\, \frac{\pi}{p_c}.

Módulo (m): Es la relación entre el diámetro primitivo y el número de dientes de un engranaje. Además es el índice del tamaño del diente, nos dice cuán robusto es. Es el equivalente del paso diametral para el Sistema Métrico. Hay que establecerlo en función de la vida del engranaje, su resistencia y las limitaciones de espacio, y elegir uno normalizado. Para que dos dientes engranen, deben tener el mismo módulo. Se mide en milímetros, por cierto. La equivalencia entre el paso circular y el módulo es: p_c \,=\, \pi m.

Ancho de cara (F): Es el espesor del engranaje. Su valor es del orden de diez veces el módulo: F \, = \, 10m.

Addendum o cabeza (a): Distancia radial entre la circunferencia primitiva y el borde superior del diente.
a \, = \, m

Dedendum o raíz (b): Es la distancia radial medida desde el borde inferior hasta la circunferencia primitiva.
b \, = \, 1,25 \cdot m

Altura total (del diente) (h): Será la suma del addendum más deddendum.

Ángulo de presión (\phi): Es el ángulo que forma la línea de engrane con la tangente a las dos circunferencias primitivas, en un par de engranajes. Su valor normalizado más común es de 20º, si empleamos otro distinto es probable que tengamos más problema a la hora buscar nuestros engranajes. Reducir este ángulo es una forma de evitar la temida interferencia (ya explicaré en otro post en qué consiste). Tratando engranajes helicoidales, se establece un ángulo de presión normal \phi_n que equivale al ángulo de presión de los engranajes rectos, y el tangencial \phi_t medido en la sección transversal del engranaje.

Ángulo de hélice (\Psi): Es el ángulo que forma la generatriz del cilindro del engranaje con el desarrollo de la hélice.
Ambos ángulos se relacionan mediante la expresión siguiente: \cos \Psi \, = \, \frac{\tan \phi_n}{\tan \phi_t}.

Iré actualizando según encuentre más elementos importantes a definir, pero creo que éstos son todos.

Aclarar que la nomenclatura puede variar, sobre todo los símbolos para denotar los ángulos, de un autor a otro. Yo he elegido la que utiliza Shigley, pero podéis encontrar el ángulo de presión representado con \alpha y casos similares.

Partes de un engranaje

Enlaces

Explicación de la ley de engrane y animaciones muy didácticas

* La primera imagen está tomada del libro “Teoría de máquinas y mecanismos” de J.E. Shigley y J.J. Uicker, coloreada por mi.

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Cálculos cinemáticos: relación de transmisión

Por Daniel - Cálculo, Memoria - 31 marzo 2009

¿Cómo llegamos a un reductor de velocidad, con todos sus ejes, engranajes, etc., partiendo de no tener absolutamente nada? Pues bien, debemos partir de una síntesis cinemática de nuestra máquina. Esto implica que debemos tomar decisiones sobre el diseño de nuestro tren de engranajes, elegir los parámetros más adecuados, optimizar la transmisión, tener presente la fabricación y, por lo tanto, el dinero que gastaríamos en producir.

Para empezar, no podemos utilizar cuatro pares de engranajes para realizar una relación de transmisión que puede efectuarse empleando sólo dos pares. Un pecado mortal, según mi profesor de Cinemática (y también tutor del proyecto), ¡y con toda la razón del mundo! En una fábrica se pueden manufacturar diariamente varios cientos de estos reductores, y si por error necesitamos fabricar cuatro engranajes que son totalmente prescindibles, es una pérdida de dinero bestial: aumentamos el gasto, disminuimos la rentabilidad y la competitividad, el ingeniero va a la calle y otro se encargará de optimizar el trabajo del anterior.

Así pues, vamos a realizar los cálculos cinemáticos para el reductor de 50:1.

i \, = \, 50 \, = \, \frac{ n_{entrada} }{ n_{salida} } \, = \, \frac{50}{1}

Tendremos que i_{1} \cdot i_{2} \cdot i_{3} \cdots \, \ge \, 50

La máxima relación de transmisión entre un par de engranajes es i_{max} \, = \, 10, por lo tanto:

i_{1} \cdot i_{2} \, = \, 10 \cdot 10 \, = \, 100 \, > \, 50

De aquí deducimos que tendremos, como máximo, dos relaciones de transmisión intermedias; o lo que es lo mismo: dos parejas de engranajes. Esto implica que tendremos el eje de entrada, un eje intermedio y el eje de salida.

La notación para el número de dientes esZ_i, así que podemos expresar la relación de transmisión de la siguiente manera:

50 \, = \, i_1 \cdot i_2 \, = \, \frac{ \prod n_{entrada} }{ \prod n_{salida} } \, = \, \frac{ \prod Z_{salida} }{ \prod Z_{entrada} } \, = \, \frac{Z_2}{Z_1} \cdot \frac{Z_4}{Z_3}

Como nuestro objetivo en este tren compuesto de engranajes es reducir la velocidad de entrada, cada relación de transmisión intermedia debe ser de reducción y bajo ningún concepto podemos multiplicar en alguno de ellos (esto es el segundo pecado mortal…). En este caso tenemos sólo dos relaciones intermedias y no somos tan brutos como para caer en este error. Sin embargo en casos de reducciones más elevadas, podría tener lugar.

Ahora vamos a determinar la relación de transmisión promedio, la cual viene dada por \sqrt[k]{i}, donde k es el número de relaciones de transmisión intermedias e i, el factor del tren. Para el caso que nos ocupa:

\sqrt[2]{50} = 7,07

En una próxima entrada, veremos cómo trabajaremos con éste valor para obtener el número de dientes de nuestros engranajes.

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