De hecho, en un proyecto como el que nos ocupa, es imprescindible el anexo de gráficas necesarias para el cálculo de los engranajes, ejes y otros elementos mecánicos. Podemos extraer dichas gráficas y esquemas de los libros mediante un escáner, pero todos sabemos que el aspecto no es del todo bueno: los cuadros no quedan orientados horizontalmente, la calidad de la imagen no es todo lo buena que debiera, no pueden ampliarse, etc. Por eso recomiendo hacer todas las imágenes en un programa de dibujo vectorial. Yo, por ejemplo, Dediqué muchas tardes a escanear gráficas del “Diseño en Ingeniería Mecánica” de J.E. Shigley y vectorizarlas. El resultado puede verse aquí:

Es además una buena opción para elaborar, en el campo de la ingeniería mecánica, los diagramas de momentos y cortantes, en el estudio de esfuerzos de una viga o eje, así como diagramas de sólido libre.

InkScape es un programa de dibujo de gráficos vectoriales, de código abierto. Los gráficos vectoriales, al contrario que los mapas de bits (formados por una matriz), están constituidos por formas geométricas y definiendo sus posiciones, colores, etc. De esta manera podemos aumentar o disminuir el tamaño de la imagen sin que la calidad se vea mermada.

Existen infinidad de tutoriales para aprender a realizar gráficos de este tipo, incluso videoturiales. Me gustaría destacar algunos de ellos:

• Iniciación en la edición de gráficos vectoriales con InkScape, por Gabriela Ponce
• El blog InkScape Turorials es muy bueno también. Tiene un post para hacer engranajes en este programa, de una forma muy esquemática.
• 35 videotutoriales de dibujo vectorial

El también conocido como coeficiente de recubrimiento o relación de contacto, nos indica el número promedio de dientes de una rueda dentada que están engranando a la vez con los dientes de la rueda con la que está conjugada.

El contacto entre dientes empieza y termina en las intersecciones de las dos circunferencias de cabeza con la línea de presión. En la siguiente ilustración queda representado este hecho.

Aquí se muestra la zona de acción de los dientes conjugados.

Según la figura anterior, el contacto inicial se produce en a, y el contacto final ocurre en el punto b. Los perfiles de los dientes trazados por estos puntos cortan la circunferencia de paso en A y B, respectivamente.

Tal y como se indica, el arco AP recibe el nombre de arco de aproximación , mientras que BP es el arco de retroceso, . La suma de ambos se denomina arco de acción, .

Cuando el arco de acción es ligeramente mayor que el paso circular p, significa que cuando un par de dientes entran en contacto, otro par de dientes que ya estaban en contacto, no habrán llegado aún al punto b. Así que durante un instante, los dos pares estarán en contacto.

Se define, pues, la relación de contacto como el cociente entre el arco de acción y el paso base.

Por lo general, los engranajes no deben diseñarse con un grado de recubrimiento menor a 1.2. Esto se debe a que debemos tener un mínimo de dos dientes en contacto en algún momento de la transmisión: por ejemplo, con un coeficiente de recubrimiento de 1.3, el 30% del tiempo habrá dos pares de dientes en contacto, mientras que el resto del tiempo habrá sólo una pareja transmitiendo la potencia. Lo que se traduce en más esfuerzo sobre los dientes.

Un grado de recubrimiento mayor indica una mayor capacidad de transmitir carga y más rigidez, aunque no es fácil (ni económico) conseguirlo, pues se requiere una gran precisión.

A continuación se detalla de forma analítica el cálculo del arco de acción .

En la figura, tenemos que:

es el radio de la base.

es el radio de cabeza.

es la medida del radio primitivo o de paso.

es el ángulo de presión transversal, pues en nuestro caso estamos tratando con engranajes helicoidales.

Partimos de que el arco de acción viene dado por:

Por otro lado, tenemos que

Siendo,

y

Sustituimos en la anterior ecuación y obtenemos:

Además, por analogía, para se tiene que:

Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la del arco de acción, se obtiene la siguiente expresión:

Mucho ojo si trabajáis con engranajes de dientes rectos: sabemos que , así que para el caso de engranajes rectos, y, por lo tanto, en la expresión de , queda como:

Al tratarse de engranajes helicoidales, intervienen otros factores en el grado de recubrimiento, así que llamaremos grado de recubrimiento debido al perfil tangencial al obtenido de la expresión:

Ahora debemos tener en cuenta que el contacto en el diente helicoidal se realiza a lo largo de una línea recta en su propia cara. Denominamos al salto de base de un diente, que es el arco que avanza un extremos del diente respecto del otro extremo, medido sobre el cilindro base.

Coeficiente de recubrimiento del salto de base, en engranajes helicoidales.

Por tanto, el coeficiente de recubrimiento viene dado por la suma del coeficiente correspondiente al perfil transversal del diente, más el coeficiente del salto de base:

Bibliografía:

• J. E. Shigley, “Teoría de máquinas y mecanismos”.

Vamos a ver cómo se elabora una tabla, cómo se insertan columnas y filas múltiples.

Los paquetes que vamos a necesitar son estos:

\usepackage{multirow}	% Para poder unir filas en las tablas

\usepackage{colortbl}	% Para colorear tablas

Por defecto, Latex nos permite unir columnas, así que no es necesario un paquete específico.

Caminando se aprende a caminar, así que vamos a ver los ejemplos y cómo sería su código correspondiente.

Tabla normal

El entorno para crear la tabla es tabular y presenta la siguiente sintaxis:

\begin{tabular}{l c r}
	Celda 11	&	Celda 12	&	Celda 13	\\
	Celda 21	&	Celda 22	&	Celda 23	\\
	Celda 31	&	Celda 32	&	Celda 33	\\
\end{tabular}

En la primera fila, vemos que tras iniciar el entorno tabular se introduce {l c r}. Eso indica las columnas que tendrá nuestra tabla y su alineación (left, center, right). Si se quieren centrar todas las columnas, sería de esta forma {c c c}.

Las filas se dividen en cada columna utilizando el símbolo & y se finaliza con \\, dando paso a la siguiente fila.

El aspecto de la tabla anterior es este:

Tabla en Latex simple

Podemos delimitar la tabla con líneas, añadiendo \hline antes o después de cada fila, y escribiendo el símbolo | en la definición de las columnas: { | l | c | r | }.

\begin{tabular}{| l | c | r |}
	\hline
	Celda 11	&	Celda 12	&	Celda 13	\\
	\hline
	Celda 21	&	Celda 22	&	Celda 23	\\
	\hline
	Celda 31	&	Celda 32	&	Celda 33	\\
	\hline
\end{tabular}

Que produce esto la siguiente tabla:

Tabla delimitada por líneas

Otra combinación:

\begin{tabular}{| l  c | r |}
	\hline
	Celda 11	&	Celda 12	&	Celda 13	\\
	\hline \hline
	Celda 21	&	Celda 22	&	Celda 23	\\
	\hline
	Celda 31	&	Celda 32	&	Celda 33	\\
	\hline
\end{tabular}

Ejemplo de tabla en Latex

Tabla con columnas múltiples

Para ello vamos a emplear el comando \multicolumn{nº de columnas}{alineación}{texto}

\begin{tabular}{| l | c | r |}
	\hline
	\multicolumn{2}{|c|}{Celdas 11 y 12}	&	Celda 13		\\
	\hline
	Celda 21	&	Celda 22	&	Celda 23		\\
	\hline
	Celda 31	&	\multicolumn{2}{c|}{Celdas 32 y 33}		\\
	\hline
\end{tabular}

Cuyo resultado sería este:

Tabla con columnas múltiples en Latex

Tabla con filas múltiples

El comando para unir filas es: \multirow{nº de filas}{ancho}[desplazamiento vertical]{texto}

\begin{tabular}{| l | c | r |}
	\hline
	\multirow{2}{*}{Celdas 11 y 21}	& Celda 12 & \multirow{3}{3cm}{Celdas 13, 23 y 33}	\\
	\cline{2-2}
				&	\multirow{2}{*}{Celdas 22 y 32}	&		\\
	\cline{1-1}
	Celda 31	&				&		\\
	\hline
\end{tabular}

Tiene como resultado:

Tabla con filas múltiples

"Terms of involute gear engagement" de Wikipedia

La línea azul, tangente a las circunferencias base en color verde (los podemos denotar como T1T2), es la línea de engrane y forma un ángulo con la recta que une los centros , el ángulo de presión. Pues bien, si los engranajes entran en contacto antes del punto T1 o se separan después de T2, se producirá un fenómeno conocido como interferencia.

Para saber en qué punto empiezan a tocarse los dientes y dónde comienzan a alejarse, basta con realizar los siguientes pasos:

1. Dibujamos las circunferencias primitivas de cada engranaje, uniendo la línea de los centros.
2. Trazamos una perpendicular en el punto de contacto de las “supuestas” ruedas de fricción: esto es, el punto de contacto entre las primitivas (C)
3. Ahora establecemos el ángulo de presión y trazamos una línea significativa que pase por el punto C.
4. Trazamos dos perpendiculares a la línea anterior de manera que pasen por sendos centros. Esto nos da el radio de las circunferencias base, que procedemos a trazar.
5. Ahora dibujamos las circunferencias exteriores de cada engranaje (radio primitivo + addendum) e identificamos los puntos donde nos corta a la línea de engrane, que serán A y B según la imagen anterior, que pasa a llamarse segmento de engrane.

Por lo tanto T1T2 > AB, quedando este segmento comprendido dentro del primero. De lo contrario, existirá interferencia.

Otra forma de interferencia, es la que se produce cuando la circunferencia base queda sobre la la propia base del diente: es decir, Diámetro base > Diámetro de pie. Esto tiene lugar cuando un engranaje tiene un número de dientes reducido.

Como sabemos, el diente involuto o de evolvente se define únicamente a partir de la circunferencia base. En los casos donde la profundidad del diente se extiende más allá de tal circunferencia, vamos a tener una zona del diente que no será involuto y no habrá un contacto de dientes conjugados. La punta del diente de la rueda interferirá con la zona “no involuta” del diente del piñón.

Fresa madre

Pero claro, como el piñón ha sido conformado con una fresa madre, el filo de la herramienta también habrá interferido con esa zona y habrá eliminado el material que se haya encontrado a su paso, generando así lo que se conoce como un diente rebajado. A éste fenómeno se le conoce como socavación o simplemente rebaje.

Sin embargo, debemos evitar esto, pues produce una debilitación en la raíz del diente. Si lo asemejamos a una viga empotrada en voladizo, ahí se producirán los mayores momentos y podría crearnos unos problemas que no habíamos previsto en los cálculos.

Así que, como decía, se deben desechan los engranes con un número de dientes relativamente bajo.

Robert L. Norton, Figura 11-11

Y aquí va una animación que representa el estudio de interferencia de uno de mis pares de engranajes: 50/16

Click para verlo ampliado.

Referencias y Enlaces

Interference in involute gears [ppt]
Robert L. Norton, “Diseño de maquinas”.
G. Niemann, “Elementos de maquinas”.
Wikipedia: Engranaje ~ Gear.

Para empezar, no podemos utilizar cuatro pares de engranajes para realizar una relación de transmisión que puede efectuarse empleando sólo dos pares. Un pecado mortal, según mi profesor de Cinemática (y también tutor del proyecto), ¡y con toda la razón del mundo! En una fábrica se pueden manufacturar diariamente varios cientos de estos reductores, y si por error necesitamos fabricar cuatro engranajes que son totalmente prescindibles, es una pérdida de dinero bestial: aumentamos el gasto, disminuimos la rentabilidad y la competitividad, el ingeniero va a la calle y otro se encargará de optimizar el trabajo del anterior.

Así pues, vamos a realizar los cálculos cinemáticos para el reductor de 50:1.

Tendremos que

La máxima relación de transmisión entre un par de engranajes es , por lo tanto:

De aquí deducimos que tendremos, como máximo, dos relaciones de transmisión intermedias; o lo que es lo mismo: dos parejas de engranajes. Esto implica que tendremos el eje de entrada, un eje intermedio y el eje de salida.

La notación para el número de dientes es, así que podemos expresar la relación de transmisión de la siguiente manera:

Como nuestro objetivo en este tren compuesto de engranajes es reducir la velocidad de entrada, cada relación de transmisión intermedia debe ser de reducción y bajo ningún concepto podemos multiplicar en alguno de ellos (esto es el segundo pecado mortal…). En este caso tenemos sólo dos relaciones intermedias y no somos tan brutos como para caer en este error. Sin embargo en casos de reducciones más elevadas, podría tener lugar.

Ahora vamos a determinar la relación de transmisión promedio, la cual viene dada por , donde k es el número de relaciones de transmisión intermedias e i, el factor del tren. Para el caso que nos ocupa:

En una próxima entrada, veremos cómo trabajaremos con éste valor para obtener el número de dientes de nuestros engranajes.