El perfil del diente

La involumetría es el estudio de la geometría de la involuta. ¿Qué es la involuta? ¿Es lo mismo que la evolvente? (mal expresada en ocasiones como “envolvente”). ¿Cuál es la diferencia? ¿Son errores de traducción o cada uno tiene un significado geométrico distinto?

Definamos los siguientes conceptos: evolvente, evoluta, involuta y envolvente.

Evoluta: En inglés evolute. Se define como el lugar geométrico de todos los centros de curvatura de una curva cualquiera. Para saber más: Evoluta en Wikipedia y en Wolfram [en]
Evolvente: Es la anterior “curva cualquiera”, es decir, aquella que da lugar a una evoluta. Parece ser que es lo que en inglés se entiende por involute.
Involuta: En inglés involute. Se supone que es aquella curva indeformable que genera una curva de evolvente. Vamos, que es lo mismo que la evolvente. Estos anglicismos…
Sus ecuaciones paramétricas son estas:
$x \,=\, r_b \cdot \cos(\theta) + r_b \cdot \theta \cdot \sin(\theta)$
$y\,=\, r_b \cdot \sin(\theta) - r_b \cdot \theta \cdot \cos(\theta)$
Envolvente: Es la curva tangente a cada miembro de una familia de curvas o rectas, sin pertenecer esa curva a tal familia.

Después de todo el lío de curvas tangentes a otras y entre sí, vamos al grano. Lo que nos interesa es la evolvente o involuta para generar nuestro perfil de diente. Llámese como se quiera, yo elijo evolvente.

El perfil del diente de un egranaje de evolvente viene generado por la evolente de la circunferencia base, la cual dijimos que tenía un diámetro $d_b \,=\, d \cdot \cos(\phi)$ .

Aquí tenemos una animación del punto de contacto entre dos perfiles de engranajes involutos realizada por la web HowStuffWorks.

Voy a seguir el “Teoría de Máquinas y Mecanismos” de Shigley para describir cómo trazamos tal curva.

Generación de una evolvente o involuta a partir de un círculo base

Si nos fijamos en la imagen, vamos a partir de un círculo base de radio $r_b$ y de centro $O$ . La línea del radio corta a la circunferencia en el punto $A$ y se traza una tangente en ese punto, donde trazaremos nuestro segmento $AT$ , de longitud $\rho$ . La línea del radio, forma un ángulo $\varphi$ con el segmento $OT$ . Como el triángulo $OTA$ es rectángulo, se cumple que $\rho \,=\, r_b \cdot \tan(\varphi)$ , que es también la longitud del archo $AB$ . Además, como la longitud de un arco de circunferencia es el radio del arco multiplicado por el ángulo en radianes, tenemos que $\rho \,=\, r_b \cdot \left( \alpha + \varphi \right)$ .

Igualando, tenemos que $r_b \cdot \tan(\varphi) \,=\, r_b \cdot \left(\alpha + \varphi \right) \rightarrow \alpha \,=\, \tan(\varphi) - \varphi$ , lo que pasará a ser la función “involuta de phi”: equivale al águlo que describe una curva trazada por un punto de una cuerda enrollada en el círculo base. Un ejemplo: si $\varphi \,=\, 30^{\circ}\rightarrow \, inv \, \varphi \,= \, \tan(30) - 0.52 \,=\, 0.053751$ . La tabla 6 del apéndice del Shigley, consiste en una lista ángulos con su correspondiente álgulo de arco evolvente ( $inv \, \varphi$ ) ya tabulados.

Cómo generar el perfil del diente con la evolvente.

Enlaces de interés y referencias bibliográficas.

Don Jose María Rico Martínez, “Análisis diferencial de la curva involuta de un círculo”.
Curvas Técnicas: Evolvente (UPM)
Referencias conceptuales
J.E. Shigley, “Teoría de máquinas y mecanismos”.
G. Niemann, “Tratado teórico-práctico de elementos de máquinas”.

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Esta entrada fue escrita el Viernes, Mayo 1st, 2009, 13:17 y archivada en Cálculo. Puedes seguir las respuestas en esta entrada a través de RSS 2.0. Puede dejar una respuesta, o hacer trackback desde su propio sitio.

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