El perfil del diente


La involumetría es el estudio de la geometría de la involuta. ¿Qué es la involuta? ¿Es lo mismo que la evolvente? (mal expresada en ocasiones como “envolvente”). ¿Cuál es la diferencia? ¿Son errores de traducción o cada uno tiene un significado geométrico distinto?

Definamos los siguientes conceptos: evolvente, evoluta, involuta y envolvente.

  • Evoluta: En inglés evolute. Se define como el lugar geométrico de todos los centros de curvatura de una curva cualquiera. Para saber más: Evoluta en Wikipedia y en Wolfram [en]
  • Evolvente: Es la anterior “curva cualquiera”, es decir, aquella que da lugar a una evoluta. Parece ser que es lo que en inglés se entiende por involute.
  • Involuta: En inglés involute. Se supone que es aquella curva indeformable que genera una curva de evolvente. Vamos, que es lo mismo que la evolvente. Estos anglicismos…
    Sus ecuaciones paramétricas son estas:
    x \,=\, r_b \cdot \cos(\theta) + r_b \cdot \theta \cdot \sin(\theta)
    y\,=\, r_b \cdot \sin(\theta) - r_b \cdot \theta \cdot \cos(\theta)
  • Envolvente: Es la curva tangente a cada miembro de una familia de curvas o rectas, sin pertenecer esa curva a tal familia.

Después de todo el lío de curvas tangentes a otras y entre sí, vamos al grano. Lo que nos interesa es la evolvente o involuta para generar nuestro perfil de diente. Llámese como se quiera, yo elijo evolvente.

El perfil del diente de un egranaje de evolvente viene generado por la evolente de la circunferencia base, la cual dijimos que tenía un diámetro d_b \,=\, d \cdot \cos(\phi).

Aquí tenemos una animación del punto de contacto entre dos perfiles de engranajes involutos realizada por la web HowStuffWorks.

Voy a seguir el “Teoría de Máquinas y Mecanismos” de Shigley para describir cómo trazamos tal curva.

Generación de una evolvente o involuta a partir de un círculo base

Generación de una evolvente o involuta a partir de un círculo base

Si nos fijamos en la imagen, vamos a partir de un círculo base de radio r_b y de centro O. La línea del radio corta a la circunferencia en el punto A y se traza una tangente en ese punto, donde trazaremos nuestro segmento AT, de longitud \rho . La línea del radio, forma un ángulo \varphi con el segmento OT. Como el triángulo OTA es rectángulo, se cumple que \rho \,=\, r_b \cdot \tan(\varphi), que es también la longitud del archo AB. Además, como la longitud de un arco de circunferencia es el radio del arco multiplicado por el ángulo en radianes, tenemos que \rho \,=\, r_b \cdot \left( \alpha + \varphi \right).

Igualando, tenemos que r_b \cdot \tan(\varphi) \,=\, r_b \cdot \left(\alpha + \varphi \right) \rightarrow \alpha \,=\, \tan(\varphi) - \varphi , lo que pasará a ser la función “involuta de phi”: equivale al águlo que describe una curva trazada por un punto de una cuerda enrollada en el círculo base. Un ejemplo: si \varphi \,=\, 30^{\circ}\rightarrow \, inv \, \varphi \,= \, \tan(30) - 0.52 \,=\, 0.053751. La tabla 6 del apéndice del Shigley, consiste en una lista ángulos con su correspondiente álgulo de arco evolvente (inv \, \varphi) ya tabulados.

Cómo generar el perfil del diente con la evolvente.

Cómo generar el perfil del diente con la evolvente.

Enlaces de interés y referencias bibliográficas.

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  1. #1 by jesus on 26 mayo 2009 - 17:25

    esta muy inetersante la informacion, estoy diseñendo un engrane y para el perfil del diete es la informacion que encontre que me sirvio un poco oala se pudiera ampliar a un caso en concreto real gracias saludos

  2. #2 by Javier A. Cárdenas O. on 6 abril 2010 - 18:01

    Es notable la amigabilidad de la lectura, excelente presentación que sirve de buena base para otras lecturas,…, amén de los apoyos en solid……
    Fdelicitaciones

  3. #3 by manuel on 24 julio 2010 - 1:39

    esta muy bien tu informacion pro me gustaria saber si es el mismo metodo para dise;ar engranes conicos \

  4. #4 by pedroaguete on 6 diciembre 2011 - 20:19

    hola, he encontrado una página donde bajarse muchos catálogos de engranajes y otros componentes mecánicos. http://www.catalogosdemecanica.es

  5. #5 by doudoune moncler femme on 16 octubre 2014 - 11:52

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(No será publicado)