Flexión en engranajes

En un engranaje helicoidal, el movimiento es transmitido por medio de una fuerza W, que es normal al diente. Su punto de aplicación se sitúa en el plano de paso y en el centro de la cara del engrane. Tal fuerza puede descomponerse en las tres direcciones principales de un sistema coordinado en el espacio.

$W_t \, = \, W \cdot \cos \phi \cos \Psi$ $W_r \, = \, W \cdot \sin \phi$ $W_a \, = \, W \cdot \cos \phi \sin \Psi$

Donde $W_t$ es la componente tangencial, contenida en el plano de giro del engranaje; $W_r$ es la componente radial, perpendicular al eje de giro, y $W_a$ es la componente axial, paralela al eje de giro.

Pero por lo general, $W$ no es un dato conocido, mientras que $W_t$ puede ser obtenida fácilmente. Así que atendiendo a la ilustración, podemos expresar también las distintas componentes de la carga como sigue:

$W_r \,=\, W_t \; \cdot \; \tan \phi_t$ $W_a \,= \, W_t \;\cdot \; \tan \Psi$ $W \, = \, \dfrac{W_t}{\cos \phi \, \cos \Psi}$

La fórmula para determinar la tensión debida a la flexión a la que está sometida el diente del engranaje, viene dada por la expresión:

$\sigma \,=\, W_t \cdot K_o \cdot K_v \cdot K_s \cdot \dfrac{P}{F} \cdot \dfrac{K_m \cdot K_B}{J}$

Los diferentes factores que intervienen los explico a continuación.

Factor de sobre carga, $K_O$

Este factor tiene como finalidad tomar en cuenta todas las cargas que se aplican de manera externa en exceso de la carga tangencial nominal $W_t$ , como por ejemplo la variación en el valor medio del par torsor, debido probablemente al encendido de los cilindros en un motor de combustión interna.

En nuestro caso, el par lo provee un motor eléctrico que tiene un funcionamiento mucho más regular y homogéneo. En la tabla mostrada a continuación encontramos los valores de $K_O$ en función de la fuente motriz y la máquina a impulsar.

			Máquina impulsada
Fuente de potencia	Uniforme	Impacto moderado	Impacto pesado
Uniforme	1,00	1,25	1,75
Impacto ligero	1,25	1,50	2,00
Impacto medio	1,50	1,75	2,25

Factor dinámico, $K_v$

Tiene en cuenta imprecisiones en la fabricación y acoplamiento de dientes de engranes en movimiento.

Aunque el factor puede extraerse de la gráfica anterior, la AGMA establece las siguientes expresiones para deducir su valor de una forma más exacta:
$K_v = \left\lbrace \begin{array}{r l} \left(\dfrac{A + \sqrt{V}}{A}\right)^B & \mbox{con V en pie/min} \\ \left(\dfrac{A + \sqrt{200V}}{A}\right)^B & \mbox{con V en m/s} \end{array} \right.$
Donde,
$A = 50 + 56 \left(1-B \right) \\ B = 0.25 \left(12 - Q_v\right)^{2/3}$

La constante $Q_v$ es definida por la AGMA como el número de control de calidad, en función de las tolerancias y la precisión del mecanismo. Las referencias que he visto, recomiendan emplear un número de control de entre 8 y 12 para el tipo de engranajes que se solicitan en un proyecto de este tipo (engranajes para sector de automoción). Personalmente, yo elegí un $Q_v = 10$ .

Factor de tamaño, $K_s$

Refleja la falta de uniformidad de las propiedades del material debida al tamaño. Depende de, entre otros factores, del tamaño del diente, del diámetro de la pieza, el ancho de la cara o los tratamientos térmicos que haya recibido la pieza.

Por lo que he podido comprobar, hasta la fecha no se han establecido unos factores estándar de tamaño para los dientes de engranajes, así que la AGMA recomienda que el valor del factor sea $K_v = 1$ , siempre que no exista un efecto perjudicial por el tamaño, de forma evidente.

Factor de distribución de la carga, $K_m$

Refleja la distribución no uniforme que se produce de la carga a lo largo de la línea de contacto. Se obtinene de la tabla siguiente:

Condición de soporte	Ancho de cara F
Condición de soporte	50 mm	150 mm	225 mm	400 mm
Monjate exacto, bajas holguras de cojinetes, deflexiones mínimas, engranes de precisión.	1,3 [1,2]	1,4 [1,3]	1,5 [1,4]	1,8 [1,7]
Montajes menos rígidos, engranes menos precisos, contacto a todo el ancho de la cara.	1,6 [1,5]	1,7 [1,6]	1,8 [1,7]	2,0 [2,0]
Exactitud y montaje de modo que exista contacto incompleto con la cara.	> 2,0 [> 2,0]

Factor de espesor del aro, $K_B$

La naturaleza de este factor es la existencia de engranajes que no tienen alma maciza, sino que están conformados con radios (engranajes de grandes dimensiones). En tales casos, cabe la posibilidad que el espesor del aro de material bajo los dientes del engrane no sea un soporte suficiente para que la raíz del diente sufra una falla por fatiga.

En este proyecto, este factor no entraña relevancia alguna, pues aunque cuento con la realización de unos ligeros rebajes en las caras de los engranajes para aligerar el conjunto, ésta práctica no llega a suponer ningún riesgo. Así pues, tomo el valor $K_b = 1$ .

Factor geométrico, $J$

Relaciona la forma del diente con un factor de concentración de esfuerzo por fatiga y una relación de repartición de la carga. El factor J de la AGMA para engranajes helicoidales, se obtiene de la gráfica siguiente:

Sin embargo, esta gráfica es válida cuando el engranaje con el que se conjuga es de 75 dientes. Es decir, si estamos calculando un piñón de 20 dientes para un par de $\dfrac{75}{20}$ y ángulo de hélice $\phi = 15$ , el valor del factor geométrico será, aproximadamente, J = 0,43.

Cuando el elemento con el que engrana tiene un número de dientes distinto de 75, debe multiplicarse el factor J por otro factor J’, el cual es un factor multiplicador en función del número de dientes del elemento con el que se engrana un determinado engranajes; su valor se encuentra en otra gráfica:

Bibliografía

J.E. Shigley, Richard G. Budynas, J. Keith Nisbett, Diseño en Ingeniería Mecánica, 2008.
J.E. Shigley, Elementos de máquinas

* Gráficas elaboradas a partir de las encontradas en el libro “Diseño de Ingeniería Mecánica”. Ilustración propia (cc).

Esta entrada fue escrita el 5 marzo 2010, 18:19 y archivada en General. Puedes seguir las respuestas en esta entrada a través de RSS 2.0. Puede dejar una respuesta, o hacer trackback desde su propio sitio.

#1 by ernesto correa on 9 octubre 2010 - 14:37

excelente material de apoyo, soy doente de taller de maquinas herramientas, trabajo con tornos y fresadoras. mis alumnos hacen practicas de elaboración de engranajes en bakelitas, aluminio y hasta en madera, solo concarácter didáctico. Lo importante es que ellos entiendan la arquitectura de un engranaje y la relacion que existe entre sus diferentes componentes. Este material me ha resultado excelente porwquer los alumnos entendieron de manera fácil los elementos que intgran un engranaje y sus relaciones. Continuen publicando material de este tipo que estoy seguro que a otros tambien les sera de utilidad GRACIAS:

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#2 by Jonatan on 21 noviembre 2011 - 22:48

Hola, estoy haciendo el proyecto sobre una caja de cambios y tengo muchos problemas a la hora de calcular la fuerza tangencial. El par del motor viene dado por el propio motor, cuando calculo la fuerza tangencial he de utilizar la mitad del par torsor al tratarse de helicoidales?

Espero respuesta.

Grácias

Proyecto Final de Carrera