Grado de recubrimiento

El también conocido como coeficiente de recubrimiento o relación de contacto, nos indica el número promedio de dientes de una rueda dentada que están engranando a la vez con los dientes de la rueda con la que está conjugada.

El contacto entre dientes empieza y termina en las intersecciones de las dos circunferencias de cabeza con la línea de presión. En la siguiente ilustración queda representado este hecho.

Aquí se muestra la zona de acción de los dientes conjugados.

Según la figura anterior, el contacto inicial se produce en a, y el contacto final ocurre en el punto b. Los perfiles de los dientes trazados por estos puntos cortan la circunferencia de paso en A y B, respectivamente.

Tal y como se indica, el arco AP recibe el nombre de arco de aproximación $q_a$ , mientras que BP es el arco de retroceso, $q_r$ . La suma de ambos se denomina arco de acción, $q_t$ .

$q_a + q_b = q_t$

Cuando el arco de acción es ligeramente mayor que el paso circular p, significa que cuando un par de dientes entran en contacto, otro par de dientes que ya estaban en contacto, no habrán llegado aún al punto b. Así que durante un instante, los dos pares estarán en contacto.

Se define, pues, la relación de contacto $\varepsilon$ como el cociente entre el arco de acción y el paso base.

$\varepsilon = \dfrac{q_t}{p}$

Por lo general, los engranajes no deben diseñarse con un grado de recubrimiento menor a 1.2. Esto se debe a que debemos tener un mínimo de dos dientes en contacto en algún momento de la transmisión: por ejemplo, con un coeficiente de recubrimiento de 1.3, el 30% del tiempo habrá dos pares de dientes en contacto, mientras que el resto del tiempo habrá sólo una pareja transmitiendo la potencia. Lo que se traduce en más esfuerzo sobre los dientes.

Un grado de recubrimiento mayor indica una mayor capacidad de transmitir carga y más rigidez, aunque no es fácil (ni económico) conseguirlo, pues se requiere una gran precisión.

A continuación se detalla de forma analítica el cálculo del arco de acción $q_t$ .

En la figura, tenemos que:

$r_b$ es el radio de la base.

$r_a$ es el radio de cabeza.

$r$ es la medida del radio primitivo o de paso.

$\phi_t$ es el ángulo de presión transversal, pues en nuestro caso estamos tratando con engranajes helicoidales.

Partimos de que el arco de acción viene dado por:

$q_t = \overline{A_2 A_1} = \overline{I A_1} + \overline{I A_2}$

Por otro lado, tenemos que

$\overline{I A_1} = \overline{T_1 A_1}- \overline{T_1 I}$

Siendo,

$\overline{T_1 A_1} = \sqrt{r_{a1}^2 - r_{b1}^2} \qquad$ y $\qquad \overline{T_1 I} = r_{b1} \cdot \tan \phi_t$

Sustituimos en la anterior ecuación y obtenemos:

$\overline{I A_1} = \sqrt{r_{a1}^2 - r_{b1}^2} - r_{b1} \cdot \tan \phi_t$

Además, por analogía, para $\overline{I A_2}$ se tiene que:

$\overline{I A_2} = \sqrt{r_{a2}^2 - r_{b2}^2} - r_{b2} \cdot \tan \phi_t$

Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la del arco de acción, se obtiene la siguiente expresión:

$q_t = \sqrt{r_{a1}^2 - r_{b1}^2} - r_{b1} \cdot \tan \phi_t + \sqrt{r_{a2}^2 - r_{b2}^2} - r_{b2} \cdot \tan \phi_t$

Mucho ojo si trabajáis con engranajes de dientes rectos: sabemos que $\tan \phi_t = \dfrac{\tan \phi}{\cos \Psi}$ , así que para el caso de engranajes rectos, $\Psi = 0$ y, por lo tanto, en la expresión de $q_t$ , $\tan \phi_t$ queda como: $\tan \phi_t = \dfrac{\tan \phi}{\cos (0)} = \tan \phi$

Al tratarse de engranajes helicoidales, intervienen otros factores en el grado de recubrimiento, así que llamaremos grado de recubrimiento debido al perfil tangencial al obtenido de la expresión:

$\varepsilon_{\phi_t} = \dfrac{q_t}{p_b}$

Ahora debemos tener en cuenta que el contacto en el diente helicoidal se realiza a lo largo de una línea recta en su propia cara. Denominamos $g_b$ al salto de base de un diente, que es el arco que avanza un extremos del diente respecto del otro extremo, medido sobre el cilindro base.

Coeficiente de recubrimiento del salto de base, en engranajes helicoidales.

$\varepsilon_{\Psi} = \dfrac{g_b}{p_b}$

Por tanto, el coeficiente de recubrimiento viene dado por la suma del coeficiente correspondiente al perfil transversal del diente, más el coeficiente del salto de base:

$\varepsilon = \varepsilon_{\phi_t} + \varepsilon_{\Psi}$

$\varepsilon = \dfrac{\sqrt{r_{a1}^2 - r_{b1}^2} - r_{b1} \cdot \tan \phi_t + \sqrt{r_{a2}^2 - r_{b2}^2} - r_{b2} \cdot \tan \phi_t + b \cdot \tan \Psi}{p_b}$

Bibliografía:

J. E. Shigley, “Teoría de máquinas y mecanismos”.

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Esta entrada fue escrita el Martes, Diciembre 8th, 2009, 21:08 y archivada en Cálculo, Memoria. Puedes seguir las respuestas en esta entrada a través de RSS 2.0. Puede dejar una respuesta, o hacer trackback desde su propio sitio.

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