Diente | Proyecto Final de Carrera

Cálculos cinemáticos: relación de transmisión (bis)

Escrito por Daniel en Cálculo el Mayo 14th, 2009

Vamos a continuar con el tema de los cálculos cinemáticos.

Como vimos, para una relación de transmisión $i \,=\, 50$ , nos servían dos parejas de engranajes. La relación de transmisión promedio era $\sqrt{50} \,=\, 7,07$ . Vamos a ver qué hacemos con esto…

La relación promedio es un valor orientativo de nuestras relaciones de transmisión intermedias $i_1$ y $i_2$ . Lo que normalmente se viene haciendo es que se toma un número cercano a aquél y se multiplica por la relación total dividida por el mismo número. Por ejemplo, tomaremos 8:

$\frac{8}{1} \times \frac{50}{8}$

Lo cual, como es evidente, sigue siendo igual a 50, nuestra relación de transmisión…

Ahora imponemos un número mínimo de dientes. Lo ideal es un mínimo de 18, pero podríamos establecer el límite en 16. ¿Qué ocurre si ponemos menos? Pues que habría muchas probabilidades de que se produjera interferencia entre los perfiles de los dientes de engrane. Estoy preparando un post sobre este tema, lo prometo…

En el Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, se explican las siguientes ecuaciones para saber cuál es el mínimo número de dientes para un ángulo de presión y el mayor engrane para un piñón mínimo:

$Z_{min} \,=\, \frac{2k}{3 \sin^2 (\phi)} \left( 1 + \sqrt{ 1 + 3\sin^2(\phi) } \right)$ , donde $\phi$ es el ángulo de presión en grados y $k$ un factor del diente, que vale 1 para dientes de profundidad completa y 0,8 en caso de dientes cortos.

$Z_{max} \,=\, \frac{Z_{min}^2 \sin^2 (\phi) - 4k^2}{4k - 2 Z_{min} \sin^2 (\phi)}$

Nosotros vamos a elegir un $Z_{min} \,=\, 16$ , que es algo normal. Si nos fijamos en las fracciones de antes, las podemos asemejar a $\frac{Z_2}{Z_1} \times \frac{Z_4}{Z_3}$ . Y como los engranajes de entrada $Z_1$ y $Z_3$ son los más pequeños (los que menos dientes tienen), pues estamos reduciendo velocidad, vamos a establecerlos en 16 dientes. Las fracciones quedarían, pues, de la siguiente forma:

$\frac{8 \cdot 16}{16} \times \frac{50 \cdot 16/8}{16} \,=\, \frac{128}{16} \times \frac{100}{16} \,=\, i \,=\, 50$

Es decir, que vamos a tener $Z_1 \,=\, Z_3 \,=\, 16$ dientes, $Z_2 \,=\, 128$ dientes y $Z_4 \,=\, 100$ dientes.

Ahora, nos surge un problema: si elegimos un módulo 3, por decir algo orientativo, vamos a tener unos engranajes demasiado grandes. Sin ir más lejos, el engrane de salida del primer par ( $Z_2$ ) tendría un diámetro de 384 mm. Como, tras los cálculos a flexión del diente necesitemos un módulo 4, tendríamos un engranaje de medio metro… con un piñón de 64 mm. Hasta el tutor me ha dicho que eso queda horrible Por esta razón, vamos a ver qué pasaría si utilizamos tres pares de engranajes –si, ya sé lo que dije de los pecados mortales…

$i \,=\, i_1 \times i_2 \times i_3 \rightarrow \sqrt[3]{50} \,=\, 3,684$

Vamos a escoger 4 como relación intermedia:

$\underbrace{\frac{Z_2}{Z_1}}_{i_1} \times \overbrace{\frac{Z_4}{Z_3}}^{i_2} \times \underbrace{\frac{Z_6}{Z_5}}_{i_3} \,=\, \frac{4}{1} \times \frac{4}{1} \times \frac{50}{4\cdot4} \rightarrow Z_{min}\,=\,16 \Rightarrow \frac{64}{16} \times \frac{64}{16} \times \frac{50}{16}$

De forma sencilla, hemos conseguido un tren de engranajes, con dos pares intermedios y los tres piñones iguales, con la ventaja económica y constructiva que eso nos otorga. Esta es mejor solución que la primera.

$Z_1 = 16$

$Z_2 = 64$

$Z_3 = 16$

$Z_4 = 64$

$Z_5 = 16$

$Z_6 = 50$

La conclusión que saco de aquí, es que en el futuro, consideraré que la relación máxima entre un par de engranajes es 8.

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El perfil del diente

Escrito por Daniel en Cálculo el Mayo 1st, 2009

La involumetría es el estudio de la geometría de la involuta. ¿Qué es la involuta? ¿Es lo mismo que la evolvente? (mal expresada en ocasiones como “envolvente”). ¿Cuál es la diferencia? ¿Son errores de traducción o cada uno tiene un significado geométrico distinto?

Definamos los siguientes conceptos: evolvente, evoluta, involuta y envolvente.

Evoluta: En inglés evolute. Se define como el lugar geométrico de todos los centros de curvatura de una curva cualquiera. Para saber más: Evoluta en Wikipedia y en Wolfram [en]
Evolvente: Es la anterior “curva cualquiera”, es decir, aquella que da lugar a una evoluta. Parece ser que es lo que en inglés se entiende por involute.
Involuta: En inglés involute. Se supone que es aquella curva indeformable que genera una curva de evolvente. Vamos, que es lo mismo que la evolvente. Estos anglicismos…
Sus ecuaciones paramétricas son estas:
$x \,=\, r_b \cdot \cos(\theta) + r_b \cdot \theta \cdot \sin(\theta)$
$y\,=\, r_b \cdot \sin(\theta) - r_b \cdot \theta \cdot \cos(\theta)$
Envolvente: Es la curva tangente a cada miembro de una familia de curvas o rectas, sin pertenecer esa curva a tal familia.

Después de todo el lío de curvas tangentes a otras y entre sí, vamos al grano. Lo que nos interesa es la evolvente o involuta para generar nuestro perfil de diente. Llámese como se quiera, yo elijo evolvente.

El perfil del diente de un egranaje de evolvente viene generado por la evolente de la circunferencia base, la cual dijimos que tenía un diámetro $d_b \,=\, d \cdot \cos(\phi)$ .

Aquí tenemos una animación del punto de contacto entre dos perfiles de engranajes involutos realizada por la web HowStuffWorks.

Voy a seguir el “Teoría de Máquinas y Mecanismos” de Shigley para describir cómo trazamos tal curva.

Generación de una evolvente o involuta a partir de un círculo base

Si nos fijamos en la imagen, vamos a partir de un círculo base de radio $r_b$ y de centro $O$ . La línea del radio corta a la circunferencia en el punto $A$ y se traza una tangente en ese punto, donde trazaremos nuestro segmento $AT$ , de longitud $\rho$ . La línea del radio, forma un ángulo $\varphi$ con el segmento $OT$ . Como el triángulo $OTA$ es rectángulo, se cumple que $\rho \,=\, r_b \cdot \tan(\varphi)$ , que es también la longitud del archo $AB$ . Además, como la longitud de un arco de circunferencia es el radio del arco multiplicado por el ángulo en radianes, tenemos que $\rho \,=\, r_b \cdot \left( \alpha + \varphi \right)$ .

Igualando, tenemos que $r_b \cdot \tan(\varphi) \,=\, r_b \cdot \left(\alpha + \varphi \right) \rightarrow \alpha \,=\, \tan(\varphi) - \varphi$ , lo que pasará a ser la función “involuta de phi”: equivale al águlo que describe una curva trazada por un punto de una cuerda enrollada en el círculo base. Un ejemplo: si $\varphi \,=\, 30^{\circ}\rightarrow \, inv \, \varphi \,= \, \tan(30) - 0.52 \,=\, 0.053751$ . La tabla 6 del apéndice del Shigley, consiste en una lista ángulos con su correspondiente álgulo de arco evolvente ( $inv \, \varphi$ ) ya tabulados.