Evolvente | Proyecto Final de Carrera

¿Qué es la interferencia?

Escrito por Daniel en General, Memoria el Mayo 29th, 2009

Como vimos en la generación del perfil del diente, mediante una evolvente, se presenta la característica de que la normal común a una pareja de estos dientes en su punto de contacto (el punto que queda entre C y E, en el dibujo), es tangente a ambas circunferencias base. Y, además, el contacto entre los dientes siempre se produce sobre esta línea que denominamos “línea de engrane” (ver El Perfil del diente).

"Terms of involute gear engagement" de Wikipedia

La línea azul, tangente a las circunferencias base en color verde (los podemos denotar como T1T2), es la línea de engrane y forma un ángulo con la recta que une los centros $\phi$ , el ángulo de presión. Pues bien, si los engranajes entran en contacto antes del punto T1 o se separan después de T2, se producirá un fenómeno conocido como interferencia.

Para saber en qué punto empiezan a tocarse los dientes y dónde comienzan a alejarse, basta con realizar los siguientes pasos:

Dibujamos las circunferencias primitivas de cada engranaje, uniendo la línea de los centros.
Trazamos una perpendicular en el punto de contacto de las “supuestas” ruedas de fricción: esto es, el punto de contacto entre las primitivas (C)
Ahora establecemos el ángulo de presión y trazamos una línea significativa que pase por el punto C.
Trazamos dos perpendiculares a la línea anterior de manera que pasen por sendos centros. Esto nos da el radio de las circunferencias base, que procedemos a trazar.
Ahora dibujamos las circunferencias exteriores de cada engranaje (radio primitivo + addendum) e identificamos los puntos donde nos corta a la línea de engrane, que serán A y B según la imagen anterior, que pasa a llamarse segmento de engrane.

Por lo tanto T1T2 > AB, quedando este segmento comprendido dentro del primero. De lo contrario, existirá interferencia.

Otra forma de interferencia, es la que se produce cuando la circunferencia base queda sobre la la propia base del diente: es decir, Diámetro base > Diámetro de pie. Esto tiene lugar cuando un engranaje tiene un número de dientes reducido.

Como sabemos, el diente involuto o de evolvente se define únicamente a partir de la circunferencia base. En los casos donde la profundidad del diente se extiende más allá de tal circunferencia, vamos a tener una zona del diente que no será involuto y no habrá un contacto de dientes conjugados. La punta del diente de la rueda interferirá con la zona “no involuta” del diente del piñón.

Fresa madre

Pero claro, como el piñón ha sido conformado con una fresa madre, el filo de la herramienta también habrá interferido con esa zona y habrá eliminado el material que se haya encontrado a su paso, generando así lo que se conoce como un diente rebajado. A éste fenómeno se le conoce como socavación o simplemente rebaje.

Sin embargo, debemos evitar esto, pues produce una debilitación en la raíz del diente. Si lo asemejamos a una viga empotrada en voladizo, ahí se producirán los mayores momentos y podría crearnos unos problemas que no habíamos previsto en los cálculos.

Así que, como decía, se deben desechan los engranes con un número de dientes relativamente bajo.

Robert L. Norton, Figura 11-11

Y aquí va una animación que representa el estudio de interferencia de uno de mis pares de engranajes: 50/16

Click para verlo ampliado.

Referencias y Enlaces

Interference in involute gears [ppt]
Robert L. Norton, “Diseño de maquinas”.
G. Niemann, “Elementos de maquinas”.
Wikipedia: Engranaje ~ Gear.

engranajes, evolvente, geometría, interferencia, rebaje, socavación

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El perfil del diente

Escrito por Daniel en Cálculo el Mayo 1st, 2009

La involumetría es el estudio de la geometría de la involuta. ¿Qué es la involuta? ¿Es lo mismo que la evolvente? (mal expresada en ocasiones como “envolvente”). ¿Cuál es la diferencia? ¿Son errores de traducción o cada uno tiene un significado geométrico distinto?

Definamos los siguientes conceptos: evolvente, evoluta, involuta y envolvente.

Evoluta: En inglés evolute. Se define como el lugar geométrico de todos los centros de curvatura de una curva cualquiera. Para saber más: Evoluta en Wikipedia y en Wolfram [en]
Evolvente: Es la anterior “curva cualquiera”, es decir, aquella que da lugar a una evoluta. Parece ser que es lo que en inglés se entiende por involute.
Involuta: En inglés involute. Se supone que es aquella curva indeformable que genera una curva de evolvente. Vamos, que es lo mismo que la evolvente. Estos anglicismos…
Sus ecuaciones paramétricas son estas:
$x \,=\, r_b \cdot \cos(\theta) + r_b \cdot \theta \cdot \sin(\theta)$
$y\,=\, r_b \cdot \sin(\theta) - r_b \cdot \theta \cdot \cos(\theta)$
Envolvente: Es la curva tangente a cada miembro de una familia de curvas o rectas, sin pertenecer esa curva a tal familia.

Después de todo el lío de curvas tangentes a otras y entre sí, vamos al grano. Lo que nos interesa es la evolvente o involuta para generar nuestro perfil de diente. Llámese como se quiera, yo elijo evolvente.

El perfil del diente de un egranaje de evolvente viene generado por la evolente de la circunferencia base, la cual dijimos que tenía un diámetro $d_b \,=\, d \cdot \cos(\phi)$ .

Aquí tenemos una animación del punto de contacto entre dos perfiles de engranajes involutos realizada por la web HowStuffWorks.

Voy a seguir el “Teoría de Máquinas y Mecanismos” de Shigley para describir cómo trazamos tal curva.

Generación de una evolvente o involuta a partir de un círculo base

Si nos fijamos en la imagen, vamos a partir de un círculo base de radio $r_b$ y de centro $O$ . La línea del radio corta a la circunferencia en el punto $A$ y se traza una tangente en ese punto, donde trazaremos nuestro segmento $AT$ , de longitud $\rho$ . La línea del radio, forma un ángulo $\varphi$ con el segmento $OT$ . Como el triángulo $OTA$ es rectángulo, se cumple que $\rho \,=\, r_b \cdot \tan(\varphi)$ , que es también la longitud del archo $AB$ . Además, como la longitud de un arco de circunferencia es el radio del arco multiplicado por el ángulo en radianes, tenemos que $\rho \,=\, r_b \cdot \left( \alpha + \varphi \right)$ .

Igualando, tenemos que $r_b \cdot \tan(\varphi) \,=\, r_b \cdot \left(\alpha + \varphi \right) \rightarrow \alpha \,=\, \tan(\varphi) - \varphi$ , lo que pasará a ser la función “involuta de phi”: equivale al águlo que describe una curva trazada por un punto de una cuerda enrollada en el círculo base. Un ejemplo: si $\varphi \,=\, 30^{\circ}\rightarrow \, inv \, \varphi \,= \, \tan(30) - 0.52 \,=\, 0.053751$ . La tabla 6 del apéndice del Shigley, consiste en una lista ángulos con su correspondiente álgulo de arco evolvente ( $inv \, \varphi$ ) ya tabulados.