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Cálculos cinemáticos: relación de transmisión

Por Daniel - Cálculo, Memoria - 31 marzo 2009

¿Cómo llegamos a un reductor de velocidad, con todos sus ejes, engranajes, etc., partiendo de no tener absolutamente nada? Pues bien, debemos partir de una síntesis cinemática de nuestra máquina. Esto implica que debemos tomar decisiones sobre el diseño de nuestro tren de engranajes, elegir los parámetros más adecuados, optimizar la transmisión, tener presente la fabricación y, por lo tanto, el dinero que gastaríamos en producir.

Para empezar, no podemos utilizar cuatro pares de engranajes para realizar una relación de transmisión que puede efectuarse empleando sólo dos pares. Un pecado mortal, según mi profesor de Cinemática (y también tutor del proyecto), ¡y con toda la razón del mundo! En una fábrica se pueden manufacturar diariamente varios cientos de estos reductores, y si por error necesitamos fabricar cuatro engranajes que son totalmente prescindibles, es una pérdida de dinero bestial: aumentamos el gasto, disminuimos la rentabilidad y la competitividad, el ingeniero va a la calle y otro se encargará de optimizar el trabajo del anterior.

Así pues, vamos a realizar los cálculos cinemáticos para el reductor de 50:1.

i \, = \, 50 \, = \, \frac{ n_{entrada} }{ n_{salida} } \, = \, \frac{50}{1}

Tendremos que i_{1} \cdot i_{2} \cdot i_{3} \cdots \, \ge \, 50

La máxima relación de transmisión entre un par de engranajes es i_{max} \, = \, 10, por lo tanto:

i_{1} \cdot i_{2} \, = \, 10 \cdot 10 \, = \, 100 \, > \, 50

De aquí deducimos que tendremos, como máximo, dos relaciones de transmisión intermedias; o lo que es lo mismo: dos parejas de engranajes. Esto implica que tendremos el eje de entrada, un eje intermedio y el eje de salida.

La notación para el número de dientes esZ_i, así que podemos expresar la relación de transmisión de la siguiente manera:

50 \, = \, i_1 \cdot i_2 \, = \, \frac{ \prod n_{entrada} }{ \prod n_{salida} } \, = \, \frac{ \prod Z_{salida} }{ \prod Z_{entrada} } \, = \, \frac{Z_2}{Z_1} \cdot \frac{Z_4}{Z_3}

Como nuestro objetivo en este tren compuesto de engranajes es reducir la velocidad de entrada, cada relación de transmisión intermedia debe ser de reducción y bajo ningún concepto podemos multiplicar en alguno de ellos (esto es el segundo pecado mortal…). En este caso tenemos sólo dos relaciones intermedias y no somos tan brutos como para caer en este error. Sin embargo en casos de reducciones más elevadas, podría tener lugar.

Ahora vamos a determinar la relación de transmisión promedio, la cual viene dada por \sqrt[k]{i}, donde k es el número de relaciones de transmisión intermedias e i, el factor del tren. Para el caso que nos ocupa:

\sqrt[2]{50} = 7,07

En una próxima entrada, veremos cómo trabajaremos con éste valor para obtener el número de dientes de nuestros engranajes.

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