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Cálculos cinemáticos: relación de transmisión (bis)

Escrito por Daniel en Cálculo el Mayo 14th, 2009

Vamos a continuar con el tema de los cálculos cinemáticos.

Como vimos, para una relación de transmisión i \,=\, 50, nos servían dos parejas de engranajes. La relación de transmisión promedio era \sqrt{50} \,=\, 7,07. Vamos a ver qué hacemos con esto…

La relación promedio es un valor orientativo de nuestras relaciones de transmisión intermedias i_1 y i_2. Lo que normalmente se viene haciendo es que se toma un número cercano a aquél y se multiplica por la relación total dividida por el mismo número. Por ejemplo, tomaremos 8:

\frac{8}{1} \times \frac{50}{8}

Lo cual, como es evidente, sigue siendo igual a 50, nuestra relación de transmisión…

Ahora imponemos un número mínimo de dientes. Lo ideal es un mínimo de 18, pero podríamos establecer el límite en 16. ¿Qué ocurre si ponemos menos? Pues que habría muchas probabilidades de que se produjera interferencia entre los perfiles de los dientes de engrane. Estoy preparando un post sobre este tema, lo prometo…

En el Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, se explican las siguientes ecuaciones para saber cuál es el mínimo número de dientes para un ángulo de presión y el mayor engrane para un piñón mínimo:

Z_{min} \,=\, \frac{2k}{3 \sin^2 (\phi)} \left( 1 + \sqrt{ 1 + 3\sin^2(\phi) } \right), donde \phi es el ángulo de presión en grados y k un factor del diente, que vale 1 para dientes de profundidad completa y 0,8 en caso de dientes cortos.

Z_{max} \,=\, \frac{Z_{min}^2 \sin^2 (\phi) - 4k^2}{4k - 2 Z_{min} \sin^2 (\phi)}

Nosotros vamos a elegir un Z_{min} \,=\, 16, que es algo normal. Si nos fijamos en las fracciones de antes, las podemos asemejar a \frac{Z_2}{Z_1} \times \frac{Z_4}{Z_3}. Y como los engranajes de entrada Z_1 y Z_3 son los más pequeños (los que menos dientes tienen), pues estamos reduciendo velocidad, vamos a establecerlos en 16 dientes. Las fracciones quedarían, pues, de la siguiente forma:

\frac{8 \cdot 16}{16} \times \frac{50 \cdot 16/8}{16} \,=\, \frac{128}{16} \times \frac{100}{16} \,=\, i \,=\, 50

Es decir, que vamos a tener Z_1 \,=\, Z_3 \,=\, 16 dientes, Z_2 \,=\, 128 dientes y Z_4 \,=\, 100 dientes.

Ahora, nos surge un problema: si elegimos un módulo 3, por decir algo orientativo, vamos a tener unos engranajes demasiado grandes. Sin ir más lejos, el engrane de salida del primer par (Z_2) tendría un diámetro de 384 mm. Como, tras los cálculos a flexión del diente necesitemos un módulo 4, tendríamos un engranaje de medio metro… con un piñón de 64 mm. Hasta el tutor me ha dicho que eso queda horrible ;) Por esta razón, vamos a ver qué pasaría si utilizamos tres pares de engranajes –si, ya sé lo que dije de los pecados mortales…

i \,=\, i_1 \times i_2 \times i_3 \rightarrow \sqrt[3]{50} \,=\, 3,684

Vamos a escoger 4 como relación intermedia:

\underbrace{\frac{Z_2}{Z_1}}_{i_1} \times \overbrace{\frac{Z_4}{Z_3}}^{i_2} \times \underbrace{\frac{Z_6}{Z_5}}_{i_3} \,=\, \frac{4}{1} \times \frac{4}{1} \times \frac{50}{4\cdot4} \rightarrow Z_{min}\,=\,16 \Rightarrow \frac{64}{16} \times \frac{64}{16} \times \frac{50}{16}

De forma sencilla, hemos conseguido un tren de engranajes, con dos pares intermedios y los tres piñones iguales, con la ventaja económica y constructiva que eso nos otorga. Esta es mejor solución que la primera.

Z_1 = 16

Z_2 = 64

Z_3 = 16

Z_4 = 64

Z_5 = 16

Z_6 = 50

La conclusión que saco de aquí, es que en el futuro, consideraré que la relación máxima entre un par de engranajes es 8.

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Cálculos cinemáticos: relación de transmisión

Escrito por Daniel en Cálculo, Memoria el Marzo 31st, 2009

¿Cómo llegamos a un reductor de velocidad, con todos sus ejes, engranajes, etc., partiendo de no tener absolutamente nada? Pues bien, debemos partir de una síntesis cinemática de nuestra máquina. Esto implica que debemos tomar decisiones sobre el diseño de nuestro tren de engranajes, elegir los parámetros más adecuados, optimizar la transmisión, tener presente la fabricación y, por lo tanto, el dinero que gastaríamos en producir.

Para empezar, no podemos utilizar cuatro pares de engranajes para realizar una relación de transmisión que puede efectuarse empleando sólo dos pares. Un pecado mortal, según mi profesor de Cinemática (y también tutor del proyecto), ¡y con toda la razón del mundo! En una fábrica se pueden manufacturar diariamente varios cientos de estos reductores, y si por error necesitamos fabricar cuatro engranajes que son totalmente prescindibles, es una pérdida de dinero bestial: aumentamos el gasto, disminuimos la rentabilidad y la competitividad, el ingeniero va a la calle y otro se encargará de optimizar el trabajo del anterior.

Así pues, vamos a realizar los cálculos cinemáticos para el reductor de 50:1.

i \, = \, 50 \, = \, \frac{ n_{entrada} }{ n_{salida} } \, = \, \frac{50}{1}

Tendremos que i_{1} \cdot i_{2} \cdot i_{3} \cdots \, \ge \, 50

La máxima relación de transmisión entre un par de engranajes es i_{max} \, = \, 10, por lo tanto:

i_{1} \cdot i_{2} \, = \, 10 \cdot 10 \, = \, 100 \, > \, 50

De aquí deducimos que tendremos, como máximo, dos relaciones de transmisión intermedias; o lo que es lo mismo: dos parejas de engranajes. Esto implica que tendremos el eje de entrada, un eje intermedio y el eje de salida.

La notación para el número de dientes esZ_i, así que podemos expresar la relación de transmisión de la siguiente manera:

50 \, = \, i_1 \cdot i_2 \, = \, \frac{ \prod n_{entrada} }{ \prod n_{salida} } \, = \, \frac{ \prod Z_{salida} }{ \prod Z_{entrada} } \, = \, \frac{Z_2}{Z_1} \cdot \frac{Z_4}{Z_3}

Como nuestro objetivo en este tren compuesto de engranajes es reducir la velocidad de entrada, cada relación de transmisión intermedia debe ser de reducción y bajo ningún concepto podemos multiplicar en alguno de ellos (esto es el segundo pecado mortal…). En este caso tenemos sólo dos relaciones intermedias y no somos tan brutos como para caer en este error. Sin embargo en casos de reducciones más elevadas, podría tener lugar.

Ahora vamos a determinar la relación de transmisión promedio, la cual viene dada por \sqrt[k]{i}, donde k es el número de relaciones de transmisión intermedias e i, el factor del tren. Para el caso que nos ocupa:

\sqrt[2]{50} = 7,07

En una próxima entrada, veremos cómo trabajaremos con éste valor para obtener el número de dientes de nuestros engranajes.

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Especificaciones

Escrito por Daniel en General el Marzo 25th, 2009

Voy a definir brevemente cuáles son las características del reductor que se va a proyectar:

  • Potencia máxima a transmitir: 15KW.
  • Engranajes de dientes helicoidales y ejes paralelos.
  • Relación de transmisión (o factor del tren): i = 50:1

Además del diseño, en principio tengo pensado realizar también un estudio sobre la fabricación de los elementos principales del reductor: ejes y engranajes, realizando sus respectivos programas en CNC.

Trabajo en entorno Ubuntu, aunque he tenido que instalar Windows XP para los programas de diseño. La edición de la memoria la voy a realizar íntegramente en LaTeX, empleando el editor TexMaker. Increíble herramienta ésta, ya mostraré algunas de las ventajas que nos aporta Latex a la edición de un proyecto final de carrera.

Para realizar el modelo en 3D y los planos, voy a usar SolidWorks 2008, donde además podremos obtener algunas animaciones y vídeos para la exposición del proyecto ante el tribunal de evaluación.

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